Presento qui due esempi di svolgimento matematico, in cui appare evidente che la matematica può divertire come un gioco enigmistico. Naturalmente, non è una lettura per i matematici, perchè essi resterebbero delusi e direbbero infine annoiati: “Cose note, le abbiamo studiate nell’infanzia della nostra professione! Ci saremmo aspettati qualche inedito barbatrucco nel campo dello spazio di Hilbert o della geometria iperbolica o, insomma, qualcos’altro di più emozionante…”

Invece, io, che non sono né un matematico, né ho mai ritenuto di avere, purtroppo, una mente matematica, mi entusiasmo nell’apprendere certi semplici e semplicemente geniali espedienti utili per ottenere dimostrazioni e soluzioni di problemi nell’ambito degli argomenti basilari della matematica. Come quelli che riporto qui sotto, il primo dei quali si inserisce nella dimostrazione della regola per la derivata del prodotto di due funzioni.

I esempio

Dimostrare che, date tre funzioni f(x), g(x) e l(x), se f(x) = g(x) . l(x), allora la derivata di f(x), f’(x), è uguale a g’(x) . l(x) + g(x) . l’(x)

Per chi non sapesse cos’è la derivata di una funzione, prima di passare alla dimostrazione è necessario sapere che:

– la derivata di una funzione f(x), calcolata in xo , è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in xo;

Per blog 21.1

– la formula della retta passante per il punto xo con coordinate note, che sono f(xo) e xo, è

y – f(xo) = m(x – xo)

– in questa formula m è il coefficiente angolare, cioè la “derivata” della funzione, indicata con il simbolo f’(x); essendo il coefficiente angolare di una retta tangente, lo chiameremo “m tan”.

m tan si può calcolare considerando il coefficiente angolare “m sec” di una retta secante il grafico della stessa funzione.

Quindi prima definiamo m sec. In quale modo? Sfruttando la stessa formula di m tan.

m sec = f(xo + h) – f(xo) = f(xo + h) – f(xo)

.                   xo + h – xo                   h

Questo rapporto, che definisce m sec, è denominato “rapporto incrementale”.

Ora che abbiamo la formula di m sec, cioè il “rapporto incrementale”, otteniamo m tan, valutando questo “rapporto incrementale” nel tendere i valori delle coordinate del punto A (f(xo + h), xo + h) ai valori delle coordinate del punto B (f(xo), xo); quindi calcolando il seguente limite

lim       f(xo + h) – f(xo)

h -> 0              h

che, se esiste e ha valore finito, rappresenta il valore del coefficiente angolare m della retta tangente al grafico, cioè, per definizione, la derivata di f in xo (il simbolo della derivata è f’(xo)).

 

Fatta questa premessa, consideriamo una funzione f(x) uguale al prodotto di altre due funzioni g(x) e l(x), cioè f(x) = g(x) . l(x)

La regola afferma che “la derivata prima f’(x) di f(x) è uguale a g(x) . l’(x) + g’(x) . l(x)

dove l’(x) è la derivata prima della funzione l(x) e g’(x) è la derivata prima della funzione g(x).

Come si dimostra questa regola?

Ricordando le premesse elencate sopra si può scrivere f'(x) nel seguente modo:

lim       f(x + h) – f(x) =    lim       g(x + h) . l(x + h) – g(x) . l(x) 

h -> 0                              h -> 0                      h

E’ stato sostituito a f(x+h) il prodotto g(x+h) . l(x+h), ricordando che f(x) = g(x) . l(x).

Ma ora, come proseguire nella dimostrazione?

Trovare l’espediente non è facile:

lim      g(x + h) . l(x + h) – g(x) . l(x) – g(x + h) . l(x ) + g(x + h) . l(x )

h -> 0                                              h

Perché mai è stato addizionato e sottratto il prodotto g(x + h) . l(x)? Non è forse un’operazione inutile?

Sì, se ci limitiamo a considerare che il risultato del limite non si modifica, introducendo due termini che si annullano. Ma l’utilità di questa espressione alternativa è reale: con queste due aggiunte il limite si può ora riscrivere in un modo che consente di concludere la dimostrazione:

lim    g(x + h) . l(x +h) – l(x) + l(x ) . g(x + h) – g(x)

h -> 0                          h                             h

Scrivendo il limite in questa forma, si ottiene quanto si voleva dimostrare:

f'(x) = g(x) . l’(x) + g’(x) . l(x)

Infatti, per la definizione di derivata,

l’(x) = lim     l(x +h) – l(x) e g’(x) = lim      g(x + h) – g(x)

.        h-> 0             h                     h -> 0           h

 

II esempio

Qual è la derivata f’(x) di f(x), se f(x) = log x?

Per la definizione di derivata vista nel caso I,

f’(x) = lim     f(x + h) – f(x) = lim      log (x + h) – log x =

.        h -> 0           h               h -> 0             h

 

= lim     log ((x + h)/x) = lim     log (1 + (h/x))

h -> 0              h            h -> 0          h

Ora una voce amica ci dice che, per proseguire sulla via della soluzione, dobbiamo tenere presente il seguente limite notevole (cioè uno di quei limiti che nei libri di matematica si trovano elencati in una tabellina dei limiti, ritenuta utile per l’apprendimento mnemonico):

lim      log (1 + m) = 1

h -> 0         m

La voce amica è stata generosa, ma non abbastanza da dirci come rendercelo utile. A questo punto siamo in una situazione simile a un gioco enigmistico; esaminiamo il nostro limite

lim     log  (1 + (h/x))

h ->0            h

Quale aiuto ci può fornire il limite notevole fornitoci dalla voce amica?

Ecco la soluzione:

lim      log (1 + (h/x))

h -> 0      (h . x)/x

Anche in questo caso ci si potrebbe sorprendere. Perché mai dividere e moltiplicare per x il denominatore?

Facendosi attenti, si può osservare che

lim        log (1 + (h/x))

h -> 0          h/x

è strutturalmente analogo al limite notevole

lim        log (1 + m) ;

h -> 0          m

limite che la voce amica ci aveva fornito, dicendoci anche che è uguale a 1.

Quindi

lim       log (1 + (h/x)) =  1/x.

h -> 0      (h/x)/x

Naturalmente x deve essere un valore positivo, considerando che x è “argomento” del logaritmo.

In conclusione, la derivata di log x è 1/x, con x valore positivo.

 

Ora ci resta una curiosità: quel limite notevole, lim      log (1 + m) = 1 è veramente uguale a 1,

.                                                                            h -> 0         m

come ci ha detto la voce amica?

Per rispondere, potremmo sfogliare un libro alla ricerca della tabellina dei limiti notevoli, non essendo matematici. Oppure, se non ci fidassimo neppure dei libri, potremmo procurarci perlomeno la formula di Taylor, della quale ora sarà opportuno fidarsi, per evitare di non poter più mantenere l’impegno di fare solo quattro passi sulla riva, se dovessimo dimostrarla. Nella forma generale essa è

f(m) = f(0) + f’(0) . m + f’’(0) . m2 + … + fn(0) . mn + o(m)n

.                        1!                   2!                  n!

Sostituendo alla generica funzione f(m) la nostra funzione log (1 + m), la formula di Taylor, considerata al primo ordine di derivata, che è quanto basta per il nostro dubbio limite notevole, suona come segue

log (1 + m) = 0 + m + o(m)

Infatti, il primo termine è 0, perché il log (1 + m), calcolato in m = 0, è log (1 + 0), cioè log 1, che vale 0.

Il secondo termine contiene la derivata prima di log (1 + m), calcolato in m = 0, cioè la derivata prima di log 1. Poiché abbiamo appena concluso che la derivata prima di log x è 1/x, allora la derivata prima di log 1 è 1/1!, cioè 1. Quindi il secondo termine è (1 . m), cioè m.

E infine c’è l’o piccolo di m.

Sostituiamo ora lo sviluppo di Taylor nel limite notevole in esame

lim       0 + m + o(m) , che evidentemente è uguale a 1.

h -> 0           m

La voce amica ci aveva consigliato bene!

La mia breve passeggiata si conclude qui, sulla riva dell’oceano matematico. In questo settore non potrei permettermi una traversata in pieno mare. Ma proprio queste piccole passeggiate possono essere rilassanti per i poveri mortali che non hanno una mente matematica, rappresentando un’alternativa ai giochi enigmistici.